Théorème de Cauchy-Lipschitz
Théorème
Première année
Théorème de Cauchy-Lipschitz :
Soit \(y'=a(x)y+b(x)\) avec \(a,b:I\to\Bbb R\) continues
Alors pour tout \(x_0\in I\), pour tout \(y_0\in\Bbb R\), il existe une solution telle que $$y(x_0)=y_0$$
(
Continuité,
Equation différentielle)
Théorème de Cauchy-Lipschitz :
Si \(F\in\mathcal C^1({\Bbb R}^p,{\Bbb R}^p)\) \((p\geqslant1)\) et \(Y_0\in{\Bbb R}^p\), le problème de Cauchy admet une unique solution maximale :- \(Y\) est définie sur un intervalle \(I=]T_{min},T_{max}[\) qui contient \(0\)
- \(Y'(t)={{F(Y(t))}}\) pour tout \(t\in I\)
- \(Y(0)={{Y_0}}\)
(
Classe de fonctions,
Problème de Cauchy)
Version locale
Théorème de Cauchy-Lipschitz local (cas globalement lipschitzien surtout compact) :
- soit \(I\) un intervalle de \({\Bbb R}\)
- soit \(F:I\times{\Bbb R}^m\to{\Bbb R}^m\)
- \(F\) est continue
- \(F\) est globalement lipschitzienne sur tout compact de \(I\) par rapport à la variable d'état (\(y\)) et uniformément par rapport à \(t\) : $$\begin{align}\forall J\text{ compact }\subset I,\exists k\gt 0,\forall t\in J,\forall y,z\in{\Bbb R},\\ \lVert F(t,y)-F(t,z)\rVert\leqslant k\lVert y-z\rVert\end{align}$$
$$\Huge\implies$$
- pour tout \((t_0,y_0)\in I\times{\Bbb R}^m\), le problème de Cauchy \(\begin{cases} y^\prime=F(t,y)\\ f(t_0)=y_0\end{cases}\) admet une unique solution globale
(
Solution globale,
Norme infinie - Norme de la convergence uniforme,
Forme intégrale)
Version globale
Théorème de Cauchy-Lipschitz global :
- \(f\) est continue et localement lipschitzienne par rapport à \(x\) : \(\forall(t_0,y_0)\in I\times U\subset{\Bbb R}^m\), \(\exists C=[t_0-a,t_0+a]\times\overline B(y_0,b)\subset I\times U\) et \(k\gt 0,\forall(t,x_1),(t,x_2)\in C\times C\), $$\lVert F(t,x_1)-F(t,x_2)\rVert\leqslant k\lVert x_1-x_2\rVert$$
$$\Huge\iff$$
- \(\forall (t_0,y_0)\in I\times U\), il existe une unique solution maximale au problème de Cauchy
- toute solution est donc définie sur un intervalle inclus dans \(J\) et coïncide avec la solution maximale
- \(J\) est ouvert